Cantor, Georg.  Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts : mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor - Dedekind; Hg.: Ernst Zermelo; Lebenslauf Cantors: Adolf Fraenkel. 1932.

Cantors Philosophie und Theologie des aktual-Unendlichen und  des Transfiniten findet sich auf S. 370 - 439.

 Cantors mathematische Begründung findet sich auf S. 278 f. und lautet wie folgt:

8. Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre.

[Jahresbericht der Deutsch. Math. Vereinig. Bd. I, S. 75-78(1890-91)]

In dem Aufsatze, betitelt: Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen (Journ. Math. Bd. 77, S. 258) [hier S.115], findet sich wohl zum ersten Male ein Beweis für den Satz, daß es unendliche Mannigfaltigkeiten gibt, die sich nicht gegenseitig eindeutig auf die Gesamtheit aller endlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3, …, ν, … beziehen lassen, oder, wie ich mich auszudrücken pflege, die nicht die Mächtigkeit der Zahlenreihe 1, 2, 3, …, ν, … haben.  Aus dem in § 2 Bewiesenen folgt nämlich ohne weiteres, daß beispielsweise die Gesamtheit aller reellen Zahlen eines beliebigen Intervalles (α ... ß) sich nicht in der Reihenform            

        w1, w2, …, wν , ....

darstellen läßt.

Es läßt sich aber von jenem Satze ein viel einfacherer Beweis liefern, der unabhängig von der Betrachtung der Irrationalzahlen ist.

Sind nämlich m und w irgend zwei einander ausschließende Charaktere, so betrachten wir einen Inbegriff M von Elementen       

E = (x1, x2, … , xν, …)

welche von unendliche vielen Koordinaten x1, x2, … , xν, … abhängen, wo jede dieser Koordinaten entweder m oder w ist.  M sei die Gesamtheit aller Elemente E

Zu den Elementen von M gehören beispielsweise die folgenden drei:           

EI  = (m, m, m, m, …. ),

EII = (w, w, w, w, …. ),          

EIII = (m, w, m, w, …. ).

Ich behaupte nun, daß eine solche Mannigfaltigkeit M nicht die Mächtigkeit der Reihe 1, 2, 3, …, ν, …hat.

Dies geht aus folgendem Satze hervor:

"Ist E1, E2, …, Eν , … irgendeine einfach unendliche Reihe von Elementen der Mannigfaltigkeit M, so gibt es stets ein Element E0­ von M, welches mit keinem E ν übereinstimmt."

Zum Beweise sei        

E1 = (a1,1, a1,2, …. , a1,ν, …)

E2 = (a2,1, a2,2, …. , a2,ν, …)

Eμ = (aμ,1, aμ,2, …. , aμ,ν, …)

……………………...…….

Hier sind die aμ,ν in bestimmter Weise m oder w.  Es werde nun eine Reihe b1, b2, … bν ,…, so definiert, daß bν auch nur gleich m oder w und von aν,ν verschieden sei.

Ist also aν,ν = m, so ist bν = w , und ist aν,ν = w, so ist b ν = m.

Betrachten wir alsdann das Element

E0 = (b1, b2, b3, …)

von M, so sieht man ohne weiteres, daß die Gleichung

E0 = Eμ  

für keinen positiven ganzzahligen Wert von μ erfüllt sein kann, da sonst für das betreffende μ und für alle ganzzahligen Werte von ν

                        bν = aμ,ν

also auch im besondern

                bμ = aμ,μ

wäre, was durch die Definition von bν ausgeschossen ist.  Aus diesem Satze folgt unmittelbar, daß die Gesamtheit aller Elemente von M sich nicht in die Reihenform: E1, E2, …, Eν , … bringen läßt, da wir sonst vor dem Widerspruch stehen würden, daß ein Ding E0 sowohl Element von M, wie auch nicht Element von M wäre.


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